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Practice: Second Partial Derivatives
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Wize University Calculus 2 Textbook > Multivariable Functions
Partial differentiation
3 Activities
Practice: Second Partial Derivatives
Find all the second-order partial derivatives of
f
(
x
,
y
)
=
x
y
+
sin
(
x
2
+
y
3
)
.
f(x,y)=xy+\sin(x^2+y^3).
f
(
x
,
y
)
=
x
y
+
sin
(
x
2
+
y
3
)
.
f
x
x
=
−
4
x
2
sin
(
x
2
+
y
3
)
+
2
cos
(
x
2
+
y
3
)
f_{xx}=-4x^2\sin\left(x^2+y^3\right)+2\cos\left(x^2+y^3\right)
f
xx
=
−
4
x
2
sin
(
x
2
+
y
3
)
+
2
cos
(
x
2
+
y
3
)
f
y
y
=
−
9
y
4
sin
(
x
2
+
y
3
)
+
6
y
cos
(
x
2
+
y
3
)
f_{yy}=-9y^4\sin\left(x^2+y^3\right)+6y\cos\left(x^2+y^3\right)
f
y
y
=
−
9
y
4
sin
(
x
2
+
y
3
)
+
6
y
cos
(
x
2
+
y
3
)
f
x
y
=
f
y
x
=
1
−
6
x
y
2
sin
(
x
2
+
y
3
)
f_{xy}=f_{yx}=1-6xy^2\sin\left(x^2+y^3\right)
f
x
y
=
f
y
x
=
1
−
6
x
y
2
sin
(
x
2
+
y
3
)
f
x
x
=
−
4
x
2
sin
(
x
2
+
y
3
)
+
2
cos
(
x
2
+
y
3
)
f_{xx}=-4x^2\sin\left(x^2+y^3\right)+2\cos\left(x^2+y^3\right)
f
xx
=
−
4
x
2
sin
(
x
2
+
y
3
)
+
2
cos
(
x
2
+
y
3
)
f
y
y
=
−
9
y
4
sin
(
x
2
+
y
3
)
+
6
y
cos
(
x
2
+
y
3
)
f_{yy}=-9y^4\sin\left(x^2+y^3\right)+6y\cos\left(x^2+y^3\right)
f
y
y
=
−
9
y
4
sin
(
x
2
+
y
3
)
+
6
y
cos
(
x
2
+
y
3
)
f
x
y
=
f
y
x
=
1
−
6
x
y
2
sin
(
x
2
+
y
3
)
+
2
cos
(
x
2
+
y
3
)
f_{xy}=f_{yx}=1-6xy^2\sin\left(x^2+y^3\right)+2\cos\left(x^2+y^3\right)
f
x
y
=
f
y
x
=
1
−
6
x
y
2
sin
(
x
2
+
y
3
)
+
2
cos
(
x
2
+
y
3
)
f
x
x
=
−
4
x
sin
(
x
2
+
y
3
)
f_{xx}=-4x\sin\left(x^2+y^3\right)
f
xx
=
−
4
x
sin
(
x
2
+
y
3
)
f
y
y
=
−
18
y
3
sin
(
x
2
+
y
3
)
f_{yy}=-18y^3\sin\left(x^2+y^3\right)
f
y
y
=
−
18
y
3
sin
(
x
2
+
y
3
)
f
x
y
=
f
y
x
=
1
−
6
x
y
2
sin
(
x
2
+
y
3
)
f_{xy}=f_{yx}=1-6xy^2\sin\left(x^2+y^3\right)
f
x
y
=
f
y
x
=
1
−
6
x
y
2
sin
(
x
2
+
y
3
)
f
x
x
=
−
4
x
sin
(
x
2
+
y
3
)
f_{xx}=-4x\sin\left(x^2+y^3\right)
f
xx
=
−
4
x
sin
(
x
2
+
y
3
)
f
y
y
=
−
18
y
3
sin
(
x
2
+
y
3
)
f_{yy}=-18y^3\sin\left(x^2+y^3\right)
f
y
y
=
−
18
y
3
sin
(
x
2
+
y
3
)
f
x
y
=
f
y
x
=
1
−
6
x
y
2
sin
(
x
2
+
y
3
)
+
2
cos
(
x
2
+
y
3
)
f_{xy}=f_{yx}=1-6xy^2\sin\left(x^2+y^3\right)+2\cos\left(x^2+y^3\right)
f
x
y
=
f
y
x
=
1
−
6
x
y
2
sin
(
x
2
+
y
3
)
+
2
cos
(
x
2
+
y
3
)
f
x
x
=
−
4
x
sin
(
x
2
+
y
3
)
f_{xx}=-4x\sin\left(x^2+y^3\right)
f
xx
=
−
4
x
sin
(
x
2
+
y
3
)
f
y
y
=
−
18
y
3
sin
(
x
2
+
y
3
)
f_{yy}=-18y^3\sin\left(x^2+y^3\right)
f
y
y
=
−
18
y
3
sin
(
x
2
+
y
3
)
f
x
y
=
f
y
x
=
1
−
y
2
sin
(
x
2
+
y
3
)
f_{xy}=f_{yx}=1-y^2\sin\left(x^2+y^3\right)
f
x
y
=
f
y
x
=
1
−
y
2
sin
(
x
2
+
y
3
)
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More Partial differentiation Questions:
Practice: Partial Derivative (1)
Find the first partial derivatives of the function
z
=
4
x
3
e
x
y
+
4
x
z=4x^{3}e^{xy}+\frac{4}{x}
z
=
4
x
3
e
x
y
+
x
4